管理人さんではないのに横からすみません。

クローゼットはまだリストとして見られませんが、交換リストとは別にあります。
ガチャや検索結果の一覧を見ると各アイテムの下に「クローゼット未登録」という項目があります。
その部分をクリックして「クローゼットに登録する」を更にクリックすると、リロード後に登録済になったことが確認できます。
１つずつの登録のままだと大変ですし、この先どういう形になるかは分かりませんが機能としては存在しています。

オフラインでの利用はネットにつながないとデータにアクセスできないので難しいと思います。
ポケラン終了後も個人で＠tradeを利用するという意味でしたら、運営に報告済ですし問題ないと思います。

>#2
専門用語とか関係なく

>・サービス終了後もこのサイトは16年間の記録を残すため、存続します。
>・サービス終了までに「クローゼット」を実装します。

と管理人さんがおっしゃってくれていますよ～。
Twitterのほうでも20日のポケラン終了後に間に合わせるようにクローゼットを実装予定とされています。
#1の方も言っているように
https://li.nu/attrade/bbs_topic.php?tid=2289
上記のスレッドをよくお読みになってみてください。スレ主さんの疑問点の回答がちゃんとありますよ。
もしスレ主さんが海外の方で、日本語の翻訳が上手くいっていないのならすみません(´・ω・｀)

２つ下のスレッドの最初のレスをご確認ください。